Je ekipa matematikov pravkar naredila velik korak k odgovoru na 160 let staro vprašanje v zvezi z matematiko v vrednosti 160 milijonov?
Mogoče. Posadka je rešila številna druga, manjša vprašanja na področju, imenovanem teorija števil. Pri tem so ponovno odprli staro drevored, ki bi lahko sčasoma pripeljal do odgovora na staro vprašanje: Ali je Riemannova hipoteza pravilna?
Reimannova hipoteza je temeljna matematična predpostavka, ki ima ogromne posledice za ostalo matematiko. Je osnova za številne druge matematične ideje - vendar nihče ne ve, ali je to res. Njegova veljavnost je postala eno najbolj znanih odprtih vprašanj matematike. Gre za eno od sedmih "tisočletnih problemov", ki so jih postavili leta 2000, z obljubo, da bo kdor jih reši, dobil milijon dolarjev. (Od takrat je bila rešena le ena težava.)
Od kod ta ideja?
Leta 1859 je nemški matematik po imenu Bernhard Riemann predlagal odgovor na posebno trno matematično enačbo. Njegova hipoteza gre takole: Pravi del vsake ne trivialne ničte funkcije Riemann zeta je 1/2. To je precej abstraktna matematična izjava, ki se nanaša na to, katere številke lahko vnesete v določeno matematično funkcijo, da postane ta funkcija enaka nič. Vendar se izkaže, da je zelo pomembno, kar je najpomembneje glede vprašanj, kako pogosto boste naleteli na prve številke, ko štejete do neskončnosti.
Na podrobnosti hipoteze se bomo vrnili kasneje. Toda zdaj je pomembno vedeti, da če je Riemannova hipoteza resnična, odgovori na številna vprašanja iz matematike.
"Tako se pogosto v teoriji števil zgodi, da se domneva Riemannova hipoteza, potem lahko dokažeš vse druge rezultate," je Lola Thompson, teoretičarka števil na Oberlin College v Ohiu, ki ni bila vpletena v tej zadnji raziskavi, je dejal.
Pogosto je, kot je povedala Live Science, teoretiki števil najprej dokazali, da je nekaj res, če je Riemannova hipoteza resnična. Nato bodo ta dokaz uporabili kot nekakšno odskočno desko do bolj zapletenega dokaza, ki kaže, da je njihov prvotni sklep resničen, ali je Riemannova hipoteza resnična ali ne.
Dejstvo, da ta trik deluje, je dejala, marsikaterega matematika prepriča, da mora biti Riemannova hipoteza resnična.
Toda resnica je, da nihče ne ve zagotovo.
Majhen korak do dokaza?
Kako se nam je zdela ta majhna ekipa matematikov približala rešitvi?
"Kar smo storili v svojem prispevku," je rekel Ken Ono, teoretik številk na univerzi Emory in soavtor novega dokazila, "ali smo ponovno pregledali zelo tehnično merilo, ki je ekvivalentno Riemannovi hipotezi ... in dokazali smo veliko del tega. Dokazali smo velik del tega merila. "
"Kriterij, ki je enakovreden Riemannovi hipotezi", se v tem primeru nanaša na ločeno izjavo, ki je matematično enakovredna Riemannovi hipotezi.
Na prvi pogled ni očitno, zakaj sta obe izjavi tako povezani. (Merilo ima povezavo z nečim, imenovanim "hiperboličnost Jensenovih polinomov.") Toda v 1920-ih je madžarski matematik George Pólya dokazal, da če je to merilo resnično, potem je Riemannova hipoteza resnična - in obratno. Gre za staro predlagano pot do dokazovanja hipoteze, vendar je bila ta v veliki meri opuščena.
Ono in njegovi sodelavci so v prispevku, objavljenem 21. maja v reviji Proceedings of the Natural Academy of Sciences (PNAS), dokazali, da je kriterij v mnogih, veliko primerih resničen.
Toda pri matematiki marsikaj ni dovolj, da bi ga šteli za dokaz. Še vedno obstajajo primeri, ko ne vedo, ali je merilo resnično ali napačno.
"To je kot igrati Powerball z več milijoni," je dejal Ono. "In poznate vse številke, vendar zadnjih 20. Če je celo ena od zadnjih 20 številk napačna, izgubite. ... Še vedno bi se lahko vse razpadlo."
Raziskovalci bi morali pripraviti še bolj napreden dokaz, da bi pokazali, da je merilo resnično v vseh primerih, s čimer bi dokazali Riemannovo hipotezo. In ni jasno, kako daleč je takšen dokaz, je dejal Ono.
Kako velik posel je ta papir?
Glede Riemannove hipoteze je težko reči, kako velik posel je to. Veliko je odvisno od tega, kaj se bo zgodilo.
"To je le ena izmed številnih enakovrednih formulacij Riemannove hipoteze," je dejal Thompson.
Z drugimi besedami, obstaja še veliko drugih idej, ki bi, podobno kot to merilo, dokazale, da je Riemannova hipoteza resnična, če bi jih tudi sami dokazali.
"Torej, res je težko vedeti, kako napredek je to, saj je po eni strani napredovalo v tej smeri. Toda toliko enakovrednih formulacij je, da morda ta smer ne bo dala Riemannove hipoteze. Mogoče je ena izmed druge enakovredne teoreme bodo namesto tega, če kdo dokaže enega od teh, "je dejal Thompson.
Če se dokazi pokažejo na tej poti, bo to verjetno pomenilo, da bodo Ono in njegovi sodelavci razvili pomemben temeljni okvir za reševanje Riemannove hipoteze. Če pa se pojavi nekje drugje, se bo ta papir izkazal za manj pomembnega.
Kljub temu so matematiki navdušeni.
"Čeprav to še ni daleč od dokazovanja Riemannove hipoteze, gre za velik korak naprej," je v spremljajočem članku PNAS 23. maja zapisal Encrico Bombieri, teoretik številke iz Princetona, ki ni bil vključen v raziskave ekipe. "Ni dvoma, da bo ta prispevek spodbudil nadaljnje temeljno delo na drugih področjih teorije števil in tudi pri matematični fiziki."
(Bombieri je leta 1974 osvojil Fields Field - najprestižnejšo nagrado za matematiko, predvsem za delo, povezano s hipotezo Riemanna.)
Kaj sploh pomeni Riemannova hipoteza?
Obljubil sem, da se bomo vrnili k temu. Tukaj je ponovno Riemannova hipoteza: Realni del vsake trivialne ničle funkcije Riemannova zeta je 1/2.
Razčistimo to glede na to, kako sta to pojasnila Thompson in Ono.
Najprej kakšna je funkcija Riemanna zete?
V matematiki je funkcija razmerje med različnimi matematičnimi veličinami. Preprosto lahko izgleda takole: y = 2x.
Rietonova zeta funkcija sledi istim osnovnim načelom. Le da je veliko bolj zapleteno. Takole je videti.
Gre za vsoto neskončnega zaporedja, pri čemer se vsakemu izrazu - prvih nekaj je 1/1 s, 1/2 ^ s in 1/3 ^ s - doda prejšnja izraza. Te elipse pomenijo, da se serija v funkciji nenehno odvija tako.
Zdaj lahko odgovorimo na drugo vprašanje: Kaj je nič zeta funkcije Riemann?
To je lažje. "Nič" funkcije je katero koli število, ki ga lahko vstavite za x, zaradi katerega je funkcija enaka nič.
Naslednje vprašanje: Kaj je "resnični del" ene od teh ničel in kaj pomeni, da je enaka 1/2?
Rietonova zeta funkcija vključuje tisto, kar matematiki imenujejo "zapletena števila". Zapleteno število izgleda tako: a + b * i.
V tej enačbi stojita "a" in "b" poljubna realna števila. Resnično število je lahko od minus 3, nič, 4,9234, pi ali 1 milijarda. Obstaja pa še ena vrsta števila: namišljena števila. Domišljijske številke se pojavijo, ko vzamete kvadratni koren negativnega števila in so pomembne, saj se prikazujejo v vseh vrstah matematičnih kontekstov.
Najpreprostejše namišljeno število je kvadratni koren -1, ki je zapisan kot "i." Kompleksno število je resnično število ("a") plus drugo resnično število ("b") krat i. "Pravi del" kompleksnega števila je, da je "a".
Reimannova hipoteza ne šteje nekaj ničel Rietonove funkcije zete, negativnih celih števil med -10 in 0. Te štejejo za "trivialne" ničle, ker so resnične številke in ne zapletene številke. Vse ostale ničle so "netrivialna" in kompleksna števila.
Riemannova hipoteza pravi, da ko Rietonova zeta funkcija prestopi nič (razen tistih ničel med -10 in 0), mora biti dejanski del kompleksnega števila enak 1/2.
Ta majhna trditev se morda ne zdi zelo pomembna. Ampak je. In morda smo le teensko bližje reševanju tega.
