"Do neskončnosti in naprej!"
Ste že globoko razmišljali o znani lovilni besedi Buzz Lightyear iz filmov "Zgodba igrač"? Verjetno ne. Morda ste se včasih ozrli na nočno nebo in se spraševali o naravi same neskončnosti.
Neskončnost je čuden koncept, ki ga človeški možgani težko ovitijo s svojim omejenim razumevanjem. Pravimo, da je vesolje morda neskončno, toda ali res lahko za vedno ostane? Ali števke pi po decimalki - ali dejansko tečejo neskončno in nam vedno dajo toliko več natančnosti glede razmerja med obodom kroga in polmerom? In, ali bi lahko imel Buzz prav? Je kaj zunaj neskončnosti?
Live Science se je za reševanje teh miselnih upogibov obrnil na pomoč matematika Henryja Towsnerja z Univerze v Pensilvaniji v Filadelfiji, ki je bil prijazen, da bi poskušal odgovoriti na vprašanje: "Ali lahko preštejete preteklost?" (Bodite pozorni: to bo postalo težavno.)
Neskončnost, je dejal Towsner, sedi na nenavadnem mestu: Večina ljudi se počuti, kot da imajo neko idejo o pojmu, a bolj ko o tem razmišljajo, bolj čuden je.
Po drugi strani matematiki pogosto ne razmišljajo o neskončnosti kot pojmu, je dodal. Namesto tega uporabljajo različne načine razmišljanja o tem, da bi dosegli številne vidike.
Na primer, obstajajo različne velikosti neskončnosti. To je dokazal nemški matematik Georg Cantor v poznih 1800-ih, kaže zgodovina z Univerze St Andrews na Škotskem.
Cantor je vedel, da naravna števila - torej cela, pozitivna števila, kot so 1, 4, 27, 56 in 15.687 - gredo za vedno. So neskončni in so tudi tisto, kar uporabljamo za preštevanje stvari, zato jih je določil kot "šteto neskončno", glede na uporabno spletno mesto o zgodovini, matematiki in drugih temah izobraževalnega karikaturista Charlesa Fisherja Cooperja.
Skupine števcev z neskončnim številom imajo nekaj zanimivih lastnosti. Na primer, enakomerne številke (2, 4, 6 itd.) So tudi neskončno neskončne. In čeprav tehnično ni več toliko, kot je tisto, kar zajema celoten nabor naravnih števil, so še vedno iste vrste neskončne.
Z drugimi besedami, vsa parna števila in vsa naravna števila lahko postavite drug ob drugem v dva stolpca, oba stolpca pa bosta šla v neskončnost, vendar sta enaki "dolžini" neskončnosti. To pomeni, da je polovica štetja neskončnosti še vedno neskončnost.
Toda Cantorjev velik vpogled je bil spoznati, da obstajajo tudi drugi sklopi števil, ki so bili neslišno neskončni. Prava števila - ki vključujejo naravna števila ter ulomke in iracionalna števila, kot je pi - so bolj neskončna od naravnih števil. (Če želite vedeti, kako je to storil Cantor in se lahko spoprime z nekaj matematičnimi zapiski, si oglejte ta delovni list z Univerze v Maineu.)
Če bi razvrstili vsa naravna števila in vsa realna števila drug ob drugem v dveh stolpcih, bi se realna števila segala čez neskončnost naravnih števil. Kasneje je Cantor ponorel, verjetno zaradi razlogov, ki niso povezani z njegovim delom v neskončnosti, po Cooperjevem mnenju.
Kaj šteje?
Torej, nazaj k vprašanju štetja pretekle neskončnosti. "Kar matematika vas sprašuje je:" Kaj to v resnici pomeni? "Je rekel Towsner. "Kaj mislite s štetjem preteklih neskončnosti?"
Da bi prišel do vprašanja, je Towsner spregovoril o zaporednih številkah. Za razliko od kardinalnih števil (1, 2, 3 in tako naprej), ki povedo, koliko stvari je v množici, so ordinariji določeni po njihovih položajih (prvi, drugi, tretji itd.), V matematiko pa jih je uvedel tudi Cantor, glede na matematično spletno stran Wolfram MathWorld.
V zaporednih številkah je pojem omega, ki ga označuje grška črka ω, je dejal Towsner. Simbol ω je opredeljen kot stvar, ki prihaja po vseh drugih naravnih številkah - ali, kot jo je imenoval Cantor, prvi čezmejni ordinal.
Toda ena od stvari pri številkah je, da lahko na koncu vedno dodate še eno, je dejal Towsner. Torej obstaja tako, kot ω + 1 in ω + 2 in celo ω + ω. (V primeru, da se sprašujete, sčasoma zadenete številko, imenovano ω1, ki je znana kot prva nešteta zaporedja.)
In ker štetje nekako pomeni dodajanje dodatnih številk, ti koncepti na nek način omogočajo štetje preteklosti neskončnosti, je dejal Towsner.
Nenavadnost vsega tega je del razloga, ki ga matematiki vztrajajo pri strogem definiranju njihovih pogojev, je dodal. Če ni vse v redu, je težko ločiti svojo normalno človeško intuicijo od tistega, kar je mogoče matematično dokazati.
"Matematika vam pravi:" Introspekt globoko, kaj šteje? "Je rekel Towsner.
Za nas zgolj smrtnike so te ideje morda težko v celoti izračunati. Kako se natančno ukvarjajo matematiki v vsakodnevnih raziskavah?
"Veliko tega je praksa," je dejal Towsner. "Z razkritjem razvijate nove intuicije in ko intuicija ne uspe, lahko rečete:" Govorimo o tem natančnem natančnem dokazu po korakih. " Če je ta dokaz presenetljiv, lahko še vedno preverimo, ali je pravilen, in se potem naučimo razvijati novo intuicijo okoli tega. "
